2023학년도 6월 모평 13번

두 곡선 $y = 16^{x}$, $y = 2^{x}$과 한 점 $A(64,\ 2^{64})$이 있다. 점 $A$를 지나며 $x$축과 평행한 직선이 곡선 $y = 16^{x}$과 만나는 점을 $P_{1}$이라 하고, 점 $P_{1}$을 지나며 $y$축과 평행한 직선이 곡선 $y = 2^{x}$과 만나는 점을 $Q_{1}$이라 하자.\

점 $Q_{1}$을 지나며 $x$축과 평행한 직선이 $y = 16^{x}$과 만나는 점을 $P_{2}$라 하고, 점 $P_{2}$를 지나며 $y$축과 평행한 직선이 곡선 $y = 2^{x}$과 만나는 점을 $Q_{2}$라 하자.\

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 두 점을 각각 $P_{n}$, $Q_{n}$이라 하고 점 $Q_{n}$의 $x$좌표를 $x_{n}$이라 할 때, $x_{n}<\dfrac{1}{k}$을 만족시키는 $n$의 최솟값이 $6$이 되도록 하는 자연수 $k$의 개수는? [4점]