2023학년도 수능 27번

어느 회사에서 생산하는 샴푸 $1$개의 용량은 정규분포
$N(m,\ \sigma^{2})$을 따른다고 한다. 이 회사에서 생산하는 샴푸 중에서 $16$개를 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구한 $m$에 대한 신뢰도 $95 \%$의 신뢰구간이 $746.1 \leq m \leq 755.9$이다.
이 회사에서 생산하는 샴푸 중에서 $n$개를 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구하는 $m$에 대한 신뢰도 $99 \%$의 신뢰구간이 $a \leq m \leq b$일 때, $b - a$의 값이 $6$ 이하가 되기 위한 자연수 $n$의 최솟값은? (단, 용량의 단위는 $mL$이고, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, $P(|Z | \leq 1.96) = 0.95$, $P(|Z | \leq 2.58) = 0.99$로 계산한다.) [3점]