2024학년도 9월 모평 28번

주머니 $A$에는 숫자 $1$, $2$, $3$이 하나씩 적힌 $3$개의 공이 들어 있고, 주머니 $B$에는 숫자 $1$, $2$, $3$, $4$가 하나씩 적힌 $4$개의 공이 들어 있다. 두 주머니 $A$, $B$와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

규칙

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $3$의 배수이면

주머니 $A$에서 임의로 $2$개의 공을 동시에 꺼내고,

나온 눈의 수가 $3$의 배수가 아니면

주머니 $B$에서 임의로 $2$개의 공을 동시에 꺼낸다.

꺼낸 $2$개의 공에 적혀 있는 수의 차를 기록한 후,

공을 꺼낸 주머니에 이 $2$개의 공을 다시 넣는다.

이 시행을 $2$번 반복하여 기록한 두 개의 수의 평균을 $\overline{X}$라 할 때, $P(\overline{X} = 2)$의 값은? [4점]