2024학년도 수능 20번

$a>\sqrt{2}$인 실수 $a$에 대하여 함수 $f(x)$를

$f(x) = - x^{3} + {ax}^{2} + 2x$

라 하자. 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $O(0, 0)$에서의 접선이 곡선 $y = f(x)$와 만나는 점 중 $O$가 아닌 점을 $A$라 하고, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $A$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $B$라 하자. 점 $A$가 선분 $OB$를 지름으로 하는 원 위의 점일 때, $\overline{OA} \times \overline{AB}$의 값을 구하시오. [4점]