2024학년도 수능 28번

하나의 주머니와 두 상자 $A$, $B$가 있다. 주머니에는 숫자 $1$, $2$, $3$, $4$가 하나씩 적힌 $4$장의 카드가 들어 있고, 상자 $A$에는 흰 공과 검은 공이 각각 $8$개 이상 들어 있고, 상자 $B$는 비어 있다. 이 주머니와 두 상자 $A$, $B$를 사용하여 다음 시행을 한다.

규칙

주머니에서 임의로 한 장의 카드를 꺼내어 카드에 적힌 수를 확인한 후 다시 주머니에 넣는다.

확인한 수가 $1$이면

상자 $A$에 있는 흰 공 $1$개를 상자 $B$에 넣고,

확인한 수가 $2$ 또는 $3$이면

상자 $A$에 있는 흰 공 $1$개와 검은 공 $1$개를 상자 $B$에 넣고,

확인한 수가 $4$이면

상자 $A$에 있는 흰 공 $2$개와 검은 공 $1$개를 상자 $B$에 넣는다.

이 시행을 $4$번 반복한 후 상자 $B$에 들어 있는 공의 개수가 $8$일 때, 상자 $B$에 들어 있는 검은 공의 개수가 $2$일 확률은? [4점]