2025학년도 6월 모평 15번

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$와 상수 $k\ (k \geq 0)$에 대하여 함수

가 다음 조건을 만족시킨다.

조건

(가) 함수 $g(x)$는 실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능하다.

(나) 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle \int_{0}^{x}\ g(t)\{|t(t - 1)| + t(t - 1)\} dt \geq 0$이고 $\displaystyle \int_{3}^{x}\ g(t)\{|(t - 1)(t + 2)| - (t - 1)(t + 2)\} dt \geq 0$이다.

$g(k + 1)$의 최솟값은? [4점]