2025학년도 6월 모평 20번

$5$ 이하의 두 자연수 $a$, $b$에 대하여 열린구간 $(0, 2\pi)$에서 정의된 함수 $y = a \sin x + b$의 그래프가 직선 $x = \pi$와 만나는 점의 집합을 $A$라 하고, 두 직선 $y = 1$, $y = 3$과 만나는 점의 집합을 각각 $B$, $C$라 하자. $n(A \cup B \cup C) = 3$이 되도록 하는 $a$, $b$의 순서쌍 $(a, b)$에 대하여 $a + b$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $M \times m$의 값을 구하시오. [4점]