2025학년도 9월 모평 14번

자연수 $n$에 대하여 곡선 $y = 2^{x}$ 위의 두 점 $A_{n}$, $B_{n}$이 다음 조건을 만족시킨다.

조건

(가) 직선 $A_{n}B_{n}$의 기울기는 $3$이다.

(나) $\overline{A_{n}B_{n}} = n \times \sqrt{10}$

중심이 직선 $y = x$ 위에 있고 두 점 $A_{n}$, $B_{n}$을 지나는 원이 곡선 $y = \log _{2}x$와 만나는 두 점의 $x$좌표 중 큰 값을 $x_{n}$이라 하자.\

$x_{1} + x_{2} + x_{3}$의 값은? [4점]