2025학년도 수능 30번

탁자 위에 $5$개의 동전이 일렬로 놓여 있다. 이 $5$개의 동전 중 $1$번째 자리와 $2$번째 자리의 동전은 앞면이 보이도록 놓여 있고, 나머지 자리의 $3$개의 동전은 뒷면이 보이도록 놓여 있다. 이 $5$개의 동전과 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

시행

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $k$일 때, $k \leq 5$이면 $k$번째 자리의 동전을 한 번 뒤집어 제자리에 놓고, $k = 6$이면 모든 동전을 한 번씩 뒤집어 제자리에 놓는다.

위의 시행을 $3$번 반복한 후 이 $5$개의 동전이 모두 앞면이 보이도록 놓여 있을 확률은 $\dfrac{q}{p}$이다. $p + q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]