2026학년도 수능 14번

그림과 같이 $\overline{AB} = 3$, $\overline{BC} = 4$이고 $\angle B = \dfrac{\pi}{2}$인 직각삼각형 $ABC$가 있다. 선분 $AB$를 $2 : 1$로 내분하는 점을 $D$, 점 $A$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\overline{AD}$인 원이 선분 $AC$와 만나는 점을 $E$, 직선 $AB$가 이 원과 만나는 점 중 $D$가 아닌 점을 $F$라 하고, 호 $EF$ 위의 점 $G$를 $\overline{CG} = 2\sqrt{6}$이 되도록 잡는다. 세 점 $C$, $E$, $G$를 지나는 원 위의 점 $H$가 $\angle HCG = \angle BAC$를 만족시킬 때, 선분 $GH$의 길이는? [4점]